1 數學模型的建立

手動螺旋千斤頂主要包括底座、棘輪、圓錐齒輪副、托杯、傳動螺紋副等部分。千斤頂最大起重量是其最主要的性能指標之一。千斤頂在工作過程中，傳動螺紋副承受主要的工作載荷，螺紋副工作壽命決定千斤頂使用壽命，故傳動螺紋副的設計最為關鍵，其設計與最大起重量、螺紋副材料、螺紋牙型以及螺紋頭數等都有關系。

1.1 目標函數與設計變量

手動螺旋千斤頂在滿足設計性能和要求的前提下，從結構緊湊、減輕重量、節省材料和降低成本考慮。在給出千斤頂最大起重量、傳動螺紋副材料及其屈服應力、螺紋頭數等基本設計要求和圓錐齒輪副等已定的情況下，可從螺紋副設計著手考慮，使螺紋副所用材料最少，即在滿足設計性能的情況下，傳動螺桿、螺母所占體積最少。

螺桿的體積為：v1=πd22L/2

螺母的體積為：v2=π(D′2-D22)H/4

式中：d2——螺桿中徑，mm；

D′——螺母外徑（虛擬），mm；

D2——螺母中徑，mm；

L——螺桿總長，mm；

H——螺母高度，mm.

考慮到傳動效率要求較高和螺紋受力較大等因素，千斤頂一般采用鋸齒形螺紋傳動，其大徑、中徑、小徑之間有如下關系：

d2=d－0.75P

d1=d－1.736P

且內、外螺紋有如下關系：D＝d;D2=d2;

式中，D2、d2為內、外螺紋中徑；P為螺距;D、d為內、外螺紋大徑；d1為內螺紋小徑。

則目標函數（即傳動螺紋副體積之和）為：

V=V1+V2=πL(d-0.75P)2-/4+π〔D′2--(d-0.75P)2-〕H/4

從目標函數表達式中可以看出，L、D′均為常量，而螺距P取值雖為整數，但其取值隨螺紋公稱直徑而變化，這里將其作為變量。故變量有d、H、P 三個，記作：

X=〔x1,x2，x3〕T=〔d,H，P〕T

目標函數表達式為：

V(x)=πL(x1-0.75x3)3/4+π〔D′2-(x1-0.75x3)2〕x2/4

1.2 優化約束條件

1.2.1 約束條件分析

(1)耐磨性條件

鋸齒形螺紋工作高度h：h=0.75P

根據手動螺旋千斤頂傳動螺紋副滑動速度較低，及螺母和螺桿材料等條件，查取許用比壓〔p〕：

計算比壓為：p=FP/[(d-0.75P)πhH]＜〔p〕

(2) 螺紋的自鎖條件

螺旋升角ψ：ψ=arctanP/πd2=arctanP/[π(d-0.75P)]

當量摩擦角ρv=arctanuv，uv為螺紋副當量摩擦系數。

自鎖條件為：ψ＜ρv－(1°～1.5°),即

arctanP/[π(d-0.75P)]＜ρv－(1°～1.5°)

(3)螺桿的強度條件

螺紋危險截面面積A為：A=π(d-1.736P)2/4

螺桿所受轉矩T：T=F·tan(ψ+ρv)(d－0.75P)/2

當量應力為：

式中，F為千斤頂最大起重量，單位為N.

查表,確定許用應力〔σ〕.

當量應力應小于許用應力，即：σca＜〔σ〕

(4) 螺紋牙剪切強度條件

按機械性能較弱的螺母材料進行計算：

螺母的外徑D等于螺桿外徑d：D=d

螺紋牙根厚b：b=0.75P

螺紋旋合圈數z：z=H/P

查表取得許用剪切應力〔τ〕.

按剪切強度進行計算：τ=F/(πDbz)=F/(πd·0.75P·H/P)，τ＜〔τ〕.

(5)螺紋牙彎曲強度條件

同樣，取機械性能較弱的螺母材料進行計算。

按彎曲強度進行計算：σb=3F(D-D2)/(πDb2z)=3F(d-d2)/(πDb2z)=3F〔d-(d-0.75P)〕/(πDb2z)

σb＜〔σb〕.

對靜載，許用應力應取較大值。

(6)螺桿的穩定性條件

確定螺桿的柔度λ值：λ=μL/i

式中，μ為螺桿的長度系數，L為螺桿的總長度，i為螺桿危險截面慣性半徑，i=d1/4.

螺桿的長度系數根據螺紋副固定形式取值。

λ值小于許用值〔λ〕，即：λ＜〔λ〕.

(7)螺桿公稱直徑取值范圍

查《機械設計手冊》，取d值范圍為：20mm≤d≤650mm.

(8)螺母最大高度（螺紋嚙合長度）范圍：30 mm≤H≤280 mm.

(9)螺紋螺距取值范圍

查《機械設計手冊》，得P值范圍為2 mm≤P≤24 mm.

1.2.2 約束條件

約束條件表達式如下：

g1(x)=F-〔0.75π(x1-0.75x3)x2〕〔p〕≤0

g2(x)=arctanx3/[π(x1-0.75x3)]-ρv+(1°～1.5°)≤0

g4(x)=F/(0.75πx1x2)-〔τ〕≤0

g5(x)=3F/(0.75πx1x2)-〔σb〕≤0

g6(x)=4μL/(x1-1.736x3)-〔λ〕≤0

g7(x)=30-x2≤0

g8(x)=x2-280≤0

g9(x)=20-x1≤0

g10(x)=x1-650≤0

g11(x)=2-x3≤0

g12(x)=x3-24≤0

2 優化方法

本問題有三個變量12個約束條件，采用MATLAB優化工具對其進行優化設計。

3 優化設計實例

某廠生產一種手動螺旋千斤頂，最大設計起重量為40 kN，螺紋為鋸齒形，螺桿材料采用40Cr，熱處理HRC45～50，σs=785Mpa，螺母用ZCuAl10Fe3，螺紋副當量摩擦系數為μv=0.13,千斤頂最大起重高度為130 mm,圓錐齒輪厚為30 mm,軸承固定端l0/d0=7/18。試設計傳動螺紋副，使其結構緊湊、所用材料最省。

根據前面的數學建模，我們先通過查表或計算，得到約束條件的各個相關參數，然后再將其代入上述建模的約束條件，從而得到螺紋副的最優設計方案。

現將原設計與優化設計結果加以對照（表1），可以看出，優化設計后螺紋副體積比原設計減少12.51%。采用優化設計方法，不僅節省材料，降低工廠生產成本，而且節省設計時間。這有助于改革傳統的設計方法，為新產品開發改進提供了有力的依據。